WWW.METODICHKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Методические указания, пособия
 

«УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС с решениями и указаниями ЕГЭ ОЛИМПИАДЫ ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗ ГЕОМЕТРИЯ Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ГЕОМЕТРИЯ УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС с решениями и указаниями ...»

Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС

с решениями и указаниями

ЕГЭ

ОЛИМПИАДЫ

ЭКЗАМЕНЫ В ВУЗ

ГЕОМЕТРИЯ

Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов

ГЕОМЕТРИЯ

УГЛУБЛЕННЫЙ КУРС



с решениями и указаниями Учебно-методическое пособие 3-е издание (электронное) Под редакцией М. В. Федотова Москва БИНОМ. Лаборатория знаний УДК 51 ББК 22.151.0я721.9 Б90 Будак Б. А.

Б90 Геометрия. Углубленный курс с решениями и указаниями [Электронный ресурс] : учебно-методическое пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под ред.

М. В. Федотова. — 3-е изд. (эл.). — Электрон. текстовые дан.

(1 файл pdf : 613 с.). — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2015. — (ВМК МГУ — школе). — Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".

ISBN 978-5-9963-2894-9 Настоящее пособие составлено преподавателями факультета ВМК МГУ имени М. В. Ломоносова на основе задач вступительных экзаменов по математике в МГУ и задач единого государственного экзамена. Пособие содержит теоретический материал, подборку задач, а также идеи, указания (подсказки) и решения задач.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и в другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

УДК 514 ББК 22.151.0я721.9 Деривативное электронное издание на основе печатного аналога: Геометрия. Углубленный курс с решениями и указаниями : учебно-методическое пособие / Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, М. В. Федотов ; под ред. М. В. Федотова. — 2-е изд., испр. — М. : БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014. — 608 с. : ил. — (ВМК МГУ — школе). — ISBN 978-5-9963-1847-6.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации Б. А. Будак, Н. Д. Золотарёва, c М. В. Федотов, 2012 БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012 c ISBN 978-5-9963-2894-9 Оглавление От р

–  –  –

От редактора Уважаемый читатель, Вы держите в руках одну из книг серии «ВМК МГУ – школе». Учебно-методические пособия, входящие в эту серию, являются результатом более чем десятилетнего труда коллектива авторов, работающих на подготовительных курсах факультета вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ имени М. В. Ломоносова. Сначала были созданы пособия для очных подготовительных курсов, затем были разработаны электронные версии учебников, используемые при дистанционном обучении. На основе этого опыта подготовлена серия книг для старшеклассников, одной из которых и является настоящее пособие.

Сейчас изданы или готовятся к изданию пособия по алгебре, геометрии и физике. В дальнейшем предполагается продолжить эту серию силами преподавателей информатики подготовительных курсов факультета ВМК МГУ и выпустить аналогичные пособия по информатике.

По каждому предмету должны выйти два пособия: базовый курс и курс, содержащий сложные задачи части С единого государственного экзамена и нестандартные задачи вступительных экзаменов в вузы (в основном это задачи различных факультетов МГУ имени М. В. Ломоносова). Базовый курс содержит все разделы соответствующего предмета, необходимые для решения задач ЕГЭ частей А, В и некоторых задач части С, а также первой половины задач вариантов вступительных экзаменов в вузы. Второе пособие содержит задачи, научившись решать которые, Вы сможете решать все задачи ЕГЭ и все или почти все задачи олимпиад и вступительных экзаменов в вузы (за отведённое время можно просто физически не успеть решить все задачи).

Отличительной особенностью наших пособий является то, что наряду с традиционными составляющими (теоретический раздел, примеры с решениями, задачи для самостоятельного решения) мы предлагаем решения всех предложенных задач с идеями и последовательными подсказками, помогающими решить задачу оптимальным способом без посторонней помощи. Это позволит ученику самостоятельно продвигаться в решении задачи так, как если бы за его спиной стоял учитель и направлял ход его мысли при решении трудных задач.



Конечно, мы понимаем, что настоящего учителя не может заменить никакая книга, но если учителя рядом нет, то, как показал опыт наших дистанционных подготовительных курсов, наличие грамотных подсказок помогает учащимся самостоятельно научиться решать задачи. С помощью нашего пособия приобретение такого опыта учениками будет значительно облегчено. С другой стороны, наши пособия помогут молодым учителям вести занятия. Мы знаем на собственном опыте, что не всегда легко направлять ученика так, чтобы он сам догадался, как решить задачу. Второй особенностью наших пособий является спиралевидная схема подачи материала, когда каждая тема повторяется несколько раз, причём каждый раз на более сложном уровне, чем в предыдущий. Это позволяет не забывать пройденный материал и постепенно подходить к сложным задачам.

–  –  –

Предисловие Предлагаемый «Углублённый курс» является естественным продолжением «Базового курса» по геометрии и предполагает свободное владение методами и приёмами из «Базового курса».

Каждый раздел пособия содержит теоретические основы, описание методов решения задач, примеры применения методов и набор заданий для решения. Задачи в разделах расположены по принципу «от простого – к сложному». Аналогичная ситуация имеет место и с последовательностью разделов, поэтому сами разделы и задачи в разделах рекомендуется изучать в предложенном порядке. Приступать к решению задач надо после изучения соответствующего теоретического материала и разбора примеров. Если самостоятельное решение задачи вызывает трудности, рекомендуется воспользоваться системой указаний (подсказок). В случае, если Вам не удалось получить правильный ответ или у Вас возникли сомнения в правильности Вашего решения, рекомендуется изучить решение, предложенное авторами.

Необходимо отметить, что в формулировках задач параллельно с математически более корректной терминологией типа «длина отрезка AB равна 5» и записью |AB| = 5 используется школьная терминология типа «отрезок AB равен 5» и запись AB = 5.

Рекомендуется школьникам при подготовке к сдаче единого государственного экзамена, абитуриентам при подготовке к поступлению как в МГУ, так и другие вузы, учителям математики, репетиторам, руководителям кружков и факультативов, преподавателям подготовительных курсов.

Желаем удачи!

Часть I. Теория и задачи

–  –  –

2. Соотношения между длинами сторон и величинами углов в равнобедренном треугольнике Пользуясь вышеизложенными фактами, получим непосредственно вытекающие из них важные B соотношения между длинами сторон, длиной высоты, проведенной к основанию, и величинами углов в равнобедренном треугольнике. Как показывает практика, при решении задач очень часто возникают различные конфигурации, в которые входят равнобедренные треугольники, и, как следствие, возникает необходимость применять нижеприведённые формулы. Рассмотрим равнобедренный тре- A H C угольник ABC, в котором |AB| = |BC|, BH — высота, проведенная к основанию AC. Справедливы следующие утверждения:

I. Длина боковой стороны равнобедренного треугольника равна частному длины его основания и удвоенного косинуса величины угла при основании этого треугольника:

–  –  –

Доказательство этих фактов несложно: ясно, что прямоугольные треугольники ABH и CBH равны по гипотенузе и катету. Из этого равенства вытекает, что |AH| = |HC|, а, с другой стороны, из прямоугольного треугольника ABH следует, что |AH| = |AB| · cos BAC, |AH| = |BH| · ctg BAC. Поэтому

–  –  –

Доказательство этого факта практически очевидно – ясно, что если в прямоугольнике, длины сторон которого равны a и b, провести диагональ, то он будет разделён на два равных прямоугольных треугольника, длины катетов которых

1.1. Прямоугольные треугольники 9 равны a и b. Осталось лишь вспомнить, что площадь прямоугольника равна произведению длин двух его смежных сторон, то есть ab.

4. Окружность, описанная около прямоугольного треугольника Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, находится на середине его гипотенузы; длина радиуса этой окружности равна половине c длины гипотенузы R =.

–  –  –

З а м е ч а н и е 1. Верны и обратные утверждения:

I. Если в некотором треугольнике длина высоты, проведённой к одной из его сторон, равна отношению произведения длин двух других его сторон и длины стороны, к которой проведена высота, то этот треугольник – прямоугольный;

II. Если в некотором треугольнике квадрат длины высоты, проведённой к одной из его сторон, равен произведению длин отрезков, на которые её основание делит эту сторону, то этот треугольник – прямоугольный.

З а м е ч а н и е 2. Ясно, что высота прямоугольного треугольника, проведённая к одному из его катетов, совпадает с другим его катетом. То есть ha = b, hb = a.

Отметим, что все приведённые обратные утверждения даны без доказательств.

Это сделано по причине того, что их доказательства требуют применения различных фактов, связанных с произвольными треугольниками и впрямую не относящихся к теме этого параграфа, или же решения различных тригонометрических уравнений. Тем не менее, попробуйте их доказать.

Наконец, перечислим некоторые факты, относящиеся к произвольным треугольникам, которые также необходимо знать и уметь использовать при решении задач, в которых встречаются прямоугольные треугольники.

В нижеприведённых формулах a, b, c – длины сторон произвольного треугольника, A, B, C – величины соответствующих противолежащих им углов треугольника, ha, hb, hc – длины высот, проведённых к сторонам, длины которых равны a, b и c соответственно, p – полупериметр треугольника, r – длина радиуса вписанной в треугольник окружности, R – длина радиуса описанной около треугольника окружности.

Теорема о сумме величин внутренних углов треугольника Сумма величин внутренних углов треугольника равна. (Сумма градусных мер внутренних углов треугольников равна 180.)

Теорема синусов:

a b c = = = 2R.

sin A sin B sin C

Теорема косинусов:

–  –  –

Теоремы об описанной и вписанной окружностях Около всякого треугольника можно описать окружность и притом только одну. Центр этой окружности лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведённых к сторонам треугольника. Причем этот центр лежит внутри треугольника, если он остроугольный; вне треугольника, если он тупоугольный;

на середине гипотенузы, если он прямоугольный.

Во всякий треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Центр этой окружности лежит в точке пересечения биссектрис всех трёх внутренних углов треугольника, причем всегда внутри треугольника.

–  –  –

Подставляя выраженные нами длины отрезков BO и OE в соотношение из условия задачи и учитывая тот факт, что, поскольку угол A – острый, то 0 /2 и величина 3/4 может принимать только значения из интервала (/4, 3/4), имеем

–  –  –

Мы получили два варианта для величины угла, в сумме они дают /2. Это и есть величины острых углов треугольника, поскольку, если мы выберем в качестве одно из двух полученных значений, величина другого острого угла будет равна как раз второму из этих значений.

–  –  –

П р и м е р 4. Через точку N проведены две прямые, касающиеся некоторой окружности с центром O.

На одной из этих прямых взята точка A, а на другой взята точка B так, что |OA| = |OB|, |OA| |ON |, |N A| = |N B|. Известно, что |N A| = a, |N B| = b, |OA| = c. Найдите длину отрезка ON.

–  –  –

Это противоречит условию задачи. Аналогично доказывается, что невозможен случай, когда точка A лежит на луче, дополнительном к [N K), а точка B – на луче, дополнительном к [N L). Будем полагать, что A лежит на луче [N K), а B – на луче, дополнительном к [N L). Тогда |N A| = |N K|+ |AK|, |N B| = |BL| |N L|, и в силу того, что |N K| = |N L|, |AK| = |BL|, мы находим

–  –  –

Задачи

1. В треугольнике ABC угол BAC прямой, |AB| = 1, |BC| = 3. Точка K делит сторону AC в отношении 7:1, считая от точки A. Что больше, |AC| или |BK|?

2. В прямоугольном треугольнике ABC точки D и E лежат соответственно на катетах BC и AC так, что |CD| = |CE| = 1. Точка O есть точка пересечения отрезков AD и BE. Площадь треугольника BOD больше площади треугольника AOE на 0, 5. Известно, что |AD| = 10. Найдите длину гипотенузы AB.

3. В равнобедренном треугольнике длины высот, опущенных на основание и на боковую сторону, равны соответственно m и n. Найдите длины сторон этого треугольника.

4. В прямоугольном треугольнике длина гипотенузы равна c, а величина одного из его острых углов равна. Найдите длину биссектрисы прямого угла этого треугольника.

5. В треугольнике ABC угол A – прямой, |AB| = 1, |BC| = 2. Биссектриса угла ABC пересекает сторону AC в точке L. G – точка пересечения медиан треугольника ABC. Что больше, |BL| или |BG|?

6. В треугольнике ABC |AB| = c, |BC| = a, а медианы AD и CE взаимно перпендикулярны. Найдите длину стороны AC.

7. В треугольнике ABC угол A – прямой, величина угла B равна /6. В треугольник вписана окружность, длина радиуса которой равна 3. Найдите расстояние от вершины C до точки касания этой окружности с катетом AB.

8. В треугольнике ABC величина угла BAC равна /3, длина высоты, опущенной из вершины C на сторону AB, равна 3, а длина радиуса окружности, описанной около треугольника ABC, равна 5. Найдите длины сторон треугольника ABC.

9. В прямоугольном треугольнике отношение длины радиуса вписанной окружности к длине радиуса описанной окружности равно 2/5. Найдите величины острых углов треугольника.

10. В треугольнике ABC угол B – тупой, продолжения высот AM и CN пересекаются в точке O, BAC =, BCA =, |AC| = b. Найдите расстояние от точки O до прямой AC.

11. В треугольнике, величина одного из углов которого равна разности величин двух других его углов, длина меньшей стороны равна 1, а сумма площадей квадратов, построенных на двух других сторонах, в два раза больше площади описанного около треугольника круга. Найдите длину большей стороны треугольника.

12. В прямоугольном треугольнике KLM проведён отрезок M D, соединяющий вершину прямого угла KM L с точкой D, лежащей на гипотенузе KL таким образом, что |DL| = 1, |DM | = 2, |DK| = 2. Найдите величину угла KM D.

[...] Минимальные системные требования определяются соответствующими требованиями программы Adobe Reader версии не ниже 11-й для платформ Windows, Mac OS, Android, iOS, Windows Phone и BlackBerry; экран 10"

–  –  –

учащихся 9-х (трехгодичная программа), 10-х (двухгодичная программа) и 11-х классов (девятимесячная, шестимесячная и трехмесячная программы) в целях подготовки к сдаче школьных выпускных экзаменов (ЕГЭ) и вступительных испытаний в вузы.

Для жителей Подмосковья и ближайших областей организуются группы выходного дня (только для 11-х классов) с занятиями по субботам.

Занятия на подготовительных курсах проходят в вечернее время с 18.00 до 21.10 в учебных аудиториях факультета вычислительной математики и кибернетики в группах по 15–16 человек (метро «Университет»).

Набор на трехгодичную, двухгодичную и на девятимесячную программы проходит с 10 по 20 мая и с 1 сентября по 20 сентября, на шестимесячную программу – в конце декабря, на трехмесячную – в конце марта.

–  –  –

КОМПЬЮТЕРНЫЕ КУРСЫ

Курсы для школьников:

работа на компьютере для школьников 3 – 5 кл., занимательная логика на компьютере, программирование для школьников младшего возраста, базовая подготовка для начинающих (6 – 11 кл.), игровые алгоритмы, основы программирования для 6 – 7 кл., занимательное моделирование в программе Автокад, моделирование в программе 3D-MAX, создание сайтов, компьютерная анимация Flash (основы и программирование), графика (Photoshop), программирование (Паскаль, DELPHI, C, C++, C#, Java), создание домашней компьютерной сети, машинопись.

Организованным группам школьников предоставляется скидка.

Компьютер для начинающих и углубленно:

Windows, офисные программы, Интернет. Компьютер для работы в офисе.

Машинопись.

Построение сайтов:

HTML и CSS, JavaScript, управление сайтами, PHP.

Компьютерная графика и верстка:

Photoshop, CorelDraw, Flash, AutoCAD, 3D-MAX, основы цифровой фотографии.

Профессиональные курсы:

С, С++, C#, Java, 1C, SQL, Создание малой компьютерной сети для офиса и дома, Управление ИТ-процессами.

–  –  –



 



Похожие работы:

«Лекция 2. Порядок выдвижения кандидатов в депутаты представительных органов муниципальных образований по одномандатным и (или) многомандатным избирательным округам Тимченко Дарья Валерьевна, консультант-юрист Избирательной комиссии Алтайского края Порядок выдвижения кандидатов в депутаты представительных органов муниципальных образований по одномандатным и (или) многомандатным избирательным округам регламентируется общими положениями статей 33, 34 и 35 Федерального закона «Об основных гарантиях...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Прокопьеевский филиал (Наименование факультета (филиала), где реализуется данная дисциплина) Рабочая программа дисциплины (модуля) Б3.Б.1.2 Теория организации (Наименование дисциплины (модуля)) Направление подготовки 080200.62 Менеджмент (шифр, название направления) Направленность (профиль)...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Кемеровский государственный университет» Прокопьевский филиал (Наименование факультета (филиала), где реализуется данная дисциплина) Рабочая программа дисциплины (модуля) «Организация государственных учреждений в России» (Наименование дисциплины (модуля)) Направление подготовки 460302/03470062 Документоведение и архивоведение (шифр,...»

«Министерство образования и науки республики Бурятия Комитет по образованию г. Улан-Удэ Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение «Гимназия № 33 г. Улан-Удэ» _ Рассмотрено на заседании Согласовано с Методическим «Утверждаю» методического объединения советом гимназии Директор МАОУ учителей начальных классов «Гимназия № 33» _ Грибанова О.П. _ Коногорова Л.А Д.К. Халтаева Протокол № Протокол № от «» _ 20 г. от «» _ 20 г. «_» 20 г. Рабочая программа по обучению грамоте (чтение,...»

«Методические рекомендации по проведению семинаров-практикумов с председателями, секретарями, членами участковых избирательных комиссий (из опыта работы Красноуфимской районной территориальной избирательной комиссии) 2013 г. Издание подготовлено в рамках реализации Концепция обучения кадров избирательных комиссий и других участников избирательного процесса в Российской Федерации в 2013-2015 годах, а также Единого комплекса мероприятий по обучению кадров избирательных комиссий и других участников...»

«Уважаемые читатели! Предлагаем вашему вниманию презентацию – обзор новых книг. Презентация содержит информацию о изданиях, поступивших в библиотеку в дар и по заявкам кафедр в 2015 году. Данные о книгах содержат: уменьшенную фотографию издания, полное библиографическое описание и аннотацию. Сведения о количестве и месте хранения издания вы можете получить, обратившись к электронному каталогу библиотеки http://www.library.ssti.ru/ Олифер, Виктор Григорьевич. Компьютерные сети: принципы,...»

«Муниципальное бюджетное специальное (коррекционное) образовательное учреждение для обучающихся, воспитанников с ограниченными возможностями здоровья, специальная (коррекционная) общеобразовательная школа VIII вида №57 г. Челябинска РАССМОТРЕНО УТВЕРЖДАЮ: На заседании МО Директор МБСКОУ № Протокол № В.И.Сычёва « » августа 2014г « » августа 2014 г Рабочая программа по профессионально-трудовому обучению столярное дело 5-9 классов на 2014-2015 учебный год Составитель: Кавалеров Сергей Сергеевич...»

«Государственное общеобразовательное учреждение Вторая Санкт-Петербургская Гимназия ИТОГОВЫЙ ОТЧЕТ по реализации ИННОВАЦИОННОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ «ОТКРЫТЫЙ МИР ОБРАЗОВАНИЯ» Инновационная образовательная программа Второй Санкт-Петербургской Гимназии 2 «Открытый мир образования» «Инструментарий сетевого взаимодействия средствами видеоконференций» Полное наименование образовательного учреждения: Государственное общеобразовательное учреждение Вторая Санкт-Петербургская Гимназия Название...»

«КОНСАЛТИНГОВАЯ КОМПАНИЯ «АР-КОНСАЛТ» РАЗВИТИЕ НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ В СОВРЕМЕННОМ МИРЕ Сборник научных трудов по материалам Международной научно-практической конференции Часть IV 31 марта 2015 г. АР-Консалт Москва 2015 УДК 001.1 ББК Р17 Развитие науки и образования в современном мире: Сборник Р17 научных трудов по материалам Международной научнопрактической конференции 31 марта 2015 г.: в 6 частях. Часть IV. М.: «АР-Консалт», 2015 г.168 с. ISBN 978-5-9906548-4ISBN 978-5-9906548-8-4 (Часть IV) В...»

«СОДЕРЖАНИЕ Общие положения 1. Характеристика направления подготовки 2. Характеристики профессиональной деятельности выпускников 3.3.1 Область профессиональной деятельности выпускника ОП ВО 3.2 Объекты профессиональной деятельности выпускника ОП ВО 3.3 Виды профессиональной деятельности выпускника ОП ВПО 3.4. Обобщенные трудовые функции выпускников в соответствии с профессиональными стандартами: 4. Результаты освоения образовательной программы 5. Структура образовательной программы 5.1. Рабочий...»





 
2016 www.metodichka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Методички, методические указания, пособия»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.