WWW.METODICHKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Методические указания, пособия
 
Загрузка...

«Сборник задач по дискретной математике Часть 1 Методические указания Ухта, УГТУ, 2015 УДК [512.64+514/742.2](075.8) ББК 22.14 я7 Ж 72 Жилина, Е. В. Ж 72 Сборник задач по дискретной ...»

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Ухтинский государственный технический университет»

(УГТУ)

Сборник задач по дискретной математике

Часть 1

Методические указания

Ухта, УГТУ, 2015

УДК [512.64+514/742.2](075.8)

ББК 22.14 я7

Ж 72

Жилина, Е. В.

Ж 72 Сборник задач по дискретной математике. Часть 1 [Текст] : метод.



указания / Е. В. Жилина, Е. В. Хабаева. – Ухта : УГТУ, 2015. – 30 с.

Методические указания полностью соответствуют требованиям федеральных государственных образовательных стандартов (ФГОС). Содержание методических указаний охватывает программу разделов: «Теория множеств и отношений», «Элементы математической логики» дисциплины «Дискретная математика», предназначенной для студентов второго, третьего курсов технических специальностей дневной и заочной форм обучения. В каждом разделе освещены необходимые теоретические сведения, представлены типовые задачи с решениями, а также задачи, адресованные студенту для самостоятельной работы.

УДК [512.64+514/742.2](075.8) ББК 22.14 я7 Методические указания рассмотрены и одобрены кафедрой высшей математики (протокол №03 от 10.10.2014 г.).

Рецензент: Ю. Л. Баскакова, доцент кафедры высшей математики Ухтинского государственного технического университета, к.социол.наук.

Редактор: Е. А. Канева, старший преподаватель кафедры высшей математики Ухтинского государственного технического университета.

Корректор: А. Ю. Васина. Технический редактор: Л. П. Коровкина.

В методических указаниях учтены замечания рецензента и редактора.

План 2014 г., позиция 116.

Подписано в печать 15.12.2014. Компьютерный набор.

Объём 30 с. Тираж 100 экз. Заказ №291.

© Ухтинский государственный технический университет, 2015 169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Первомайская, д. 13.

Типография УГТУ.

169300, Республика Коми, г. Ухта, ул. Октябрьская, д. 13.

Содержание Введение

Глава 1. Теория множеств и отношений

§1. Множества. Операции над множествами

§2. Кортежи и декартово произведение множеств

§3. Бинарные отношения. Операции над бинарными отношениями......... 14 Глава 2. Элементы математической логики

§1. Элементарные булевы функции

§2. Нормальные формы. Многочлены Жегалкина

§3. Предикаты

§4. Кванторы

Введение

В настоящее время дискретная математика является интенсивно развивающимся разделом математики. Это связано с повсеместным распространением кибернетических систем, языком описания которых она является. Кроме того, дискретная математика является теоретической базой информатики, которая всё глубже и глубже проникает не только в науку и технику, но и в повседневную жизнь.

Методы дискретной математики широко используются в современной практике моделирования в управлении, во всех случаях качественного анализа сложных проблем управления, в ситуациях, с которыми сталкиваешься каждый раз, когда испытываешь острую потребность в какой-либо систематизации того, что известно по интересующей проблеме, в её структуризации, представлении имеющихся знаний в виде, удобном для последующего анализа как «вручную», так и с использованием современных средств компьютерной техники. Методы дискретной математики пригодны для описания и последующего конструктивного анализа многих проблемных ситуаций, в том числе не поддающихся описанию традиционными средствами классической математики, и позволяют при необходимости активно использовать современную вычислительную технику, новые информационные технологии.

Дискретная математика предлагает универсальные средства (языки) формализованного представления, способы корректной переработки информации, представленной на этих языках, а также возможности и условия перехода с одного языка описания явлений на другой с сохранением содержательной ценности моделей.

Важность владения методами дискретной математики обусловлена ещё и тем, что современная информационная техника переработки информации базируется на дискретных представлениях. Не случайно за рубежом дискретную математику часто называют компьютерной математикой. Современный бакалавр, специалист, магистр не может обойтись без использования компьютерной техники. Сегодня это не только специальные текстовые и иные редакторы, системы документационного обеспечения, но и более сложные системы поддержки принятия решений, экспертные и другие интеллектуальные системы.





Цель данного задачника – дать необходимый теоретический минимум информации по дискретной математике и рассмотреть всевозможные задачи данной дисциплины для её более быстрого и прочного усвоения.

Задачник может быть полезен как студентам, изучающим данную дисциплину, так и преподавателям, читающим курс дискретной математики.

–  –  –

Понятие множества относится к аксиоматическим понятиям математики.

Определение. Множество – такой набор, группа, коллекция элементов, которые обладают каким-либо общим для них всех свойством или признаком.

Обозначение: A, B.

Определение. Два множества A и B равны тогда и только тогда, когда они состоят из одних и тех же элементов. A B.

Запись a A (a A) означает, что a является (не является) элементом множества A.

Определение. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается.

Обычно в конкретных случаях элементы всех рассматриваемых множеств берутся из одного, достаточно широкого множества U, которое называется универсальным множеством.

Мощность множества обозначается как M.

Замечание: для конечных множеств мощность множества – это число элементов.

Определение. Если A B, то множества называются равномощными.

Для иллюстрации операций над множествами часто используются диаграммы Эйлера – Венна. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов, представляющих множества.

Над множествами определены следующие операции:

объединение А В : х / х А х В

–  –  –

Левая часть равенства представлена на рисунке а), правая – на рисунке б).

Из диаграмм очевидно равенство левой и правой частей данного соотношения.

–  –  –

Задача 1.3.

На уроке литературы учитель решил узнать, кто из 40 учеников класса читал книги A, B, C. Результаты опроса оказались таковы: книгу A читали 25 учеников; книгу B читали 22 ученика; книгу C читали 22 ученика; книги A или B читали 33 ученика; книги A или C читали 32 ученика; книги B или C читали 31 ученик; все книги читали 10 учеников.

Определите: 1) Сколько учеников прочли только книгу A?

2) Сколько учеников прочли только книгу B?

3) Сколько учеников прочли только книгу C?

4) Сколько учеников прочли только по одной книге?

5) Сколько учеников прочли хотя бы одну книгу?

6) Сколько учеников не прочитали ни одной книги?

Решение.

Пусть U множество учеников в классе. Тогда U 40, A 25, B 22, C 22, A B 33, A C 32, B C 31, A B C 10 Попробуем проиллюстрировать задачу.

–  –  –

Задачи для самостоятельного решения

1) В течение недели в кинотеатре шли фильмы A, B, C. Каждый из 40 школьников видел либо все 3 фильма, либо один из трёх. Фильм A видели 13 школьников. Фильм B видели 16 школьников. Фильм C видели 19 школьников.

Сколько школьников видели только по одному фильму?

2) В международной конференции участвовало 120 человек. Из них 60 владеют русским языком, 48 – английским, 32 – немецким, 21 – русским и английским, 19 – английским и немецким, 15 – русским и немецким, а 10 человек владеют всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

3) В спортивных соревнованиях участвует школьная команда из 20 человек, каждый из которых имеет спортивный разряд по одному или нескольким из трёх видов спорта: лёгкой атлетике, плаванию и гимнастике. Известно, что 12 из них имеют разряды по лёгкой атлетике, 10 – по гимнастике и 5 – по плаванию. Определите количество школьников из этой команды, имеющих разряды по всем видам спорта, если по лёгкой атлетике и плаванию разряды имеют 2 человека, по лёгкой атлетике и гимнастике – 4 человека, по плаванию и гимнастике – 2 человека.

4) Опрос 100 студентов дал следующие результаты о количестве студентов, изучающих различные иностранные языки: испанский – 28; немецкий – 30;

французский – 42; испанский и немецкий – 8; испанский и французский – 10;

немецкий и французский – 5; все три языка – 3. Сколько студентов изучает немецкий язык в том и только том случае, если они изучают французский язык?

5) Опрос 100 студентов выявил следующие данные о числе студентов, изучающих различные иностранные языки: только немецкий – 18; немецкий, но не испанский – 23; немецкий и французский – 8; немецкий – 26; французский – 48;

французский и испанский – 8; никакого языка – 24. Сколько студентов изучают немецкий и испанский язык?

6) В отчёте об опросе 100 студентов сообщалось, что количество студентов, изучающих различные языки, таково: все три языка – 5; немецкий и испанский – 10; французский и испанский – 8; немецкий и французский – 20; испанский – 30; немецкий – 23; французский – 50. Инспектор, представивший этот отчёт, был уволен. Почему?

7) В международной конференции участвовало 100 человек. Из них 42 владеют французским языком, 28 – английским, 30 – немецким, 10 – французским и английским, 8 – английским и немецким, 5 – французским и немецким, а 3 человека владеют всеми тремя языками. Сколько участников конференции не владеют ни одним из этих языков?

8) Студенты 1 курса, изучающие информатику в университете, могут посещать и дополнительные дисциплины. В этом году 25 из них предпочли изучать бухгалтерию, 27 выбрали бизнес, а 12 решили заниматься туризмом. Кроме того, было 20 студентов, слушающих курс бухгалтерии и бизнеса, 5 изучали бухгалтерию и туризм, а 3 – туризм и бизнес. Известно, что никто из студентов не отважился посещать сразу 3 дополнительных курса. Сколько студентов посещали, по крайней мере, 1 дополнительный курс?

9) В олимпиаде по математике для абитуриентов приняло участие 40 учащихся.

Им было предложено решить одну задачу по алгебре, одну по геометрии и одну по тригонометрии. Задачу по алгебре решили 20 человек, по геометрии – 18, по тригонометрии – 18 человек. Задачи по алгебре и геометрии решили 7 человек, по алгебре и тригонометрии – 8 человек, по геометрии и тригонометрии – 9 человек. Ни одной задачи не решили 3 человека. Сколько учащихся решили только две задачи?

10) В классе 40 учеников. Из них по русскому языку имеют тройки 19 человек, по математике – 17 человек и по физике – 22 человека. 4 ученика имеют тройки только по одному русскому языку, 4 – только по математике и 11 – только по физике. По русскому, математике и физике имеют тройки 5 учащихся. 7 человек имеют тройки по математике и физике. Сколько учеников имеют тройки по двум из трёх предметов?

§2. Кортежи и декартово произведение множеств Определение. Пусть даны множества A1, A2,..., An. Кортежем (или вектором) длины n, составленным из элементов этих множеств, называется конечная последовательность x1, x 2,..., x n, где для всех k, 1 k n, имеем x k Ak.

Элемент x k называется k ой координатой или k ой компонентой кортежа.

Определение. Два кортежа равны в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, причём их координаты, стоящие на местах с одинаковыми номерами, равны. Т. е. кортежи x1, x 2,..., x m и y1, y 2,..., y n равны в том и только том случае, когда m n, причём x k y k для всех 1 k n.

Определение. Кортеж, не содержащий ни одной компоненты, т. е. кортеж длины 0, называется пустым.

Основные отличия понятий кортежа и множества следующие:

а) во множестве порядок элементов не играет роли, а кортежи, отличающиеся порядком элементов, различны, даже в случае, когда они имеют одинаковый состав;

б) во множестве все элементы различны, а в кортеже координаты могут повторяться.

–  –  –

Задача 3.1.

Определите свойства отношения R – «быть делителем», заданного на множестве натуральных чисел.

Решение.

отношение R a, b : a делитель b:

рефлексивно, не антирефлексивно, так как любое число делит само себя без остатка: a / a 1 для всех a N ;

не симметрично, антисимметрично, например, 2 делитель 4, но 4 не является делителем 2;

транзитивно, так как если b / a N и c / b N, то c / a b / a c / b N, например, если 6 / 3 2 N и 18 / 6 3 N, то 18 / 3 18 / 6 6 / 3 6 N.

Задача 3.2.

Определите свойства отношения R – «быть братом», заданного на множестве людей.

Решение.

Отношение R a, b : a брат b:

не рефлексивно, антирефлексивно из-за очевидного отсутствия aRa для всех a ;

не симметрично, так как в общем случае между братом a и сестрой b имеет место aRb, но не bRa ;

не антисимметрично, так как если a и b – братья, то aRb и bRa, но a b ;

транзитивно, если называть братьями людей, имеющих общих родителей (отца и мать).

Задача 3.3.

Определите свойства отношения R – «быть начальником», заданного на множестве элементов структуры

–  –  –

Решение.

Отношение R a, b : a начальник b:

не рефлексивно, антирефлексивно, если в конкретной интерпретации не имеет смысла;

не симметрично, антисимметрично, так как для всех a b не выполняется одновременно aRb и bRa ;

транзитивно, так как если a начальник b и b начальник c, то a начальник c.

Задачи для самостоятельного решения

Определите свойства отношения Ri, заданного на множестве M i матрицей, если:

1) R1 «иметь один и тот же остаток от деления на 5»; M 1 множество натуральных чисел.

2) R 2 «быть равным»; M 2 множество натуральных чисел.

3) R3 «жить в одном городе»; M 3 множество людей.

4) R 4 «быть знакомым»; M 4 множество людей.

5) R5 a, b : a b чётное; M 5 множество чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

6) R6 a, b : a b чётное ; M 6 множество чисел 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

7) R7 a, b : a 1 делитель a b ; M 7 множество 1,2,3,4,5,6,7,8,9.

8) R8 a, b : a делительa b, a 1; M 8 множество натуральных чисел.

9) R9 «быть сестрой»; M 9 множество людей.

10) R10 «быть дочерью»; M 10 множество людей.

–  –  –

Определение. Если R A B, то R R 1 называется ядром отношения R.

Теорема 3.1.

Пусть R A A – отношение, заданное на множестве A.

Тогда:

1) R рефлексивно тогда и только тогда, (далее используется знак ) когда I R.

2) R симметрично R R 1.

3) R транзитивно R R R

4) R антисимметрично R R 1 I.

5) R антирефлексивно R I.

–  –  –

Задача 3.5.

Пусть R отношение «…родитель…», а S отношение «…брат…»

на множестве всех людей. Дайте краткое словесное описание отношениям:

R 1, S 1, R S, S 1 R 1 и R R.

Решение.

R 1 отношение «…ребёнок…»;

S 1 отношение «…брат или сестра…»;

R S отношение «…родитель…»;

S 1 R 1 отношение «…ребёнок…»

R R отношение «…бабушка или дедушка…»

Задачи для самостоятельного решения

1) Пусть R отношение «…отец…», а S отношение «…сестра…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, R S, S 1 R 1, R R.

2) Пусть R отношение «…брат…», а S отношение «…мать…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, S R, R 1 S 1, S S.

3) Пусть R отношение «…дед…», а S отношение «…сын…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, R S, S 1 R 1, S S.

4) Пусть R отношение «…дочь…», а S отношение «…бабушка…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, S R, R 1 S 1, R R.

5) Пусть R отношение «…племянница…», а S отношение «…отец…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, S R, R 1 S 1, R R.

6) Пусть R отношение «сестра…», а S отношение «мать…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, R S, S 1 R 1, S S.

7) Пусть R отношение «…мать…», а S отношение «…сестра…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, R S, S 1 R 1, S S.

8) Пусть R отношение «…сын…», а S отношение «…дед…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, S R, R 1 S 1, R R.

9) Пусть R отношение «…сестра…», а S отношение «…отец…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, R S, S 1 R 1, S S.

10) Пусть R отношение «…мать…», а S отношение «…брат…» на множестве всех людей. Дайте словесное описание отношениям:

R 1, S 1, S R, R 1 S 1, R R.

–  –  –

Определение. Булевой (логической) переменной называется переменная, принимающая лишь два значения « 0 » и «1».

Определение. Булевой функцией от n логических переменных называется функция, принимающая также лишь два значения « 0 » и «1».

Из определения логической функции следует, что функция n переменных – это отображение из множества E n E E... E (декартово произведение множества E 0;1 самого на себя n раз) в E. Это отображение можно задать непосредственно таблицей, которая называется таблицей истинности данной функции.

Все функции n переменных можно перенумеровать. Число таких функn ций равно 2 2. Однако, некоторые из них являются по существу функциями меньшего числа переменных, а две - вообще константами.

Определение. Если функция не зависит от некоторой переменной, то такую переменную будем называть фиктивной (несущественной).

–  –  –

Определения этих функций легко могут быть перенесены на любое число переменных.

Определение. Конъюнкцией n переменных f x1 x 2...x n называется функция, которая принимает значение 1, тогда и только тогда, когда все переменные равны 1 (и, значит, равна 0, если хотя бы одна из этих переменных равна 0).

Определение. Дизъюнкцией n переменных f x1 x 2... x n называется такая функция, которая равна 0 тогда и только тогда, когда все переменные равны 0 (и, значит, равна 1, когда хотя бы одна из этих переменных равна 1).

Будем обозначать через f x1, x2,..., x n новую функцию, которая на наборе переменных x1, x 2,..., x n принимает значение, противоположное f x1, x 2,..., x n.

–  –  –

Определение. Простой конъюнкцией называется конъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная (либо сама, либо её отрицание) встречается не более одного раза.

Например, xy z является простой конъюнкцией.

Определение. Дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ) называется дизъюнкция простых конъюнкций.

Например, выражение xy y z является ДНФ.

Определение. Совершенной дизъюнктивной нормальной формой (СДНФ) называется такая дизъюнктивная нормальная форма, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания), причём в одном и том же порядке.

Например, выражение xy z является ДНФ, но не СДНФ, а выражение xyz x y z x yz является СДНФ.

Определение. Простой дизъюнкцией называется дизъюнкция одной или нескольких переменных, при этом каждая переменная (либо сама, либо её отрицание) входит в дизъюнкцию не более одного раза.



Например, выражение x y z является простой дизъюнкцией.

Определение. Конъюнктивной нормальной формой (КНФ) называется конъюнкция простых дизъюнкций.

Например, выражение x y z x z y z является КНФ.

Определение. Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ) называется такая КНФ, у которой в каждую простую дизъюнкцию входят все переменные данного списка (либо сами, либо их отрицания) причём в одном и том же порядке.

Например, выражение x y z x y z x y z является СКНФ.

Теорема 2.1.

Всякая булева функция (кроме 0) имеет единственную СДНФ.

Следствие. Всякая булева функция может быть выражена через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание. В частности, x x 0.

Теорема 2.2.

Всякая булева функция (кроме 1) может быть единственным образом представлена в виде СКНФ.

Алгоритм построения СДНФ булевой функции по заданной таблице истинности Берём только те наборы переменных ( x1, x 2,..., x n ), для которых f ( x1, x 2,..., xn ) 1 и составляем простую конъюнкцию для этого набора так: если x i 0, то берём в этой конъюнкции x i, если xi 1, то берём xi. Составляя дизъюнкцию этих простых конъюнкций, придём к СДНФ.

По аналогии с представлением любой функции (не равной 0) в виде СДНФ можно любую функцию (не равную 1), представить в виде СКНФ. А именно, простые дизъюнкции составляются для тех наборов переменных

–  –  –

стантами (равными нулю или единице), « » означает сложение по модулю 2, каждый одночлен представляет собой конъюнкцию входящих в него переменных и констант.

Теорема 2.3.

Любой многочлен Жегалкина может быть приведён к каноническому виду.

Доказательство теоремы опирается на:

дистрибутивный закон a b c a c b c ;

–  –  –

Теорема 2.4.

Любая булева функция n переменных может быть единственным образом представлена полиномом Жегалкина.

Доказательство проводится с помощью формул: a a 1, a b a b ab.

Способы построения полинома Жегалкина:

а) Пусть логическая функция f ( x1, x 2,..., x n ) задана своей таблицей истинности.

Представляем нашу функцию в виде полинома Жегалкина с неопределёнными коэффициентами. По очереди подставляем всевозможные наборы переменных и находим коэффициенты полинома из получающихся уравнений. Так как число наборов равно числу коэффициентов (и равно 2 n ), то последние определяются однозначно.

б) Этот способ основан на том, что x 1 x и применяется для функций, заданных в виде ДНФ. А именно, если функция задана в виде ДНФ, то сначала убираем дизъюнкцию, используя одно из правил де Моргана, а все отрицания заменяем сложением по модулю 2 с единицей. После этого раскрываем скобки по обычным правилам, при этом учитываем, что чётное число одинаковых слагаемых равно нулю (так как x x 0 ), а нечётное число одинаковых слагаемых равно одному такому слагаемому.

–  –  –

Определение. Предикатом называется повествовательное предложение, содержащее предметные переменные, определённые на соответствующих множествах; при замене переменных конкретными значениями (элементами) этих множеств предложение обращается в высказывание, т. е. принимает значение «истинно» или «ложно».

Определение. Предикатом называется функция P : M n B, где B 0,1, M любое множество, M n M, т. е. функция P, сопоставляющая M... M n раз вектору x1, x 2,..., x n значения 0 или 1.

Множество M называется предметной областью предиката P, x1, x 2,..., x n предметные переменные,

–  –  –

n местность предиката, декартово произведение M M... M область определения предиката P.

Обозначение: P x1, x 2,..., x n n местный предикат, заданный на множестве M.

Определение. Областью истинности предиката P называется подмножество I p M n его предметной области, на элементах которого значения предиката равны 1.

Область истинности предиката, выраженного предикатной формулой, определяется областями истинности составляющих и применяемыми в формуле операциями: I PQ I P I Q, I P Q I P I Q, I PQ I P I Q, I P I P.

Задача 3.1.

Найти область истинности предиката P( X, Y ) (( X Y ) нечётно) (( X Y ) делятся на 3), где X ;3;6;7, Y 2;4;5.

–  –  –

5) P( X ) число 3 делитель x x 6, заданного на множестве однозначных натуральных чисел;

6) P( X ) число 3 делитель x x 6, заданного на множестве однозначных натуральных чисел;

7) P( X ) x 3 x 10, заданного на множестве всех действительных чисел;

8) P( X ) x 2 4 x 1 1, заданного на множестве всех действительных чисел;

–  –  –

Определение. Переход от Px к x Px или x Px называется связыванием переменной x или навешиванием квантора на переменную x или квантификацией переменной x.

Определение. Квантор общности – это оператор, приводящий в соответствие каждому заданному предикату y Px такую двузначную логическую переменную z, которая принимает значение 1 тогда и только тогда, когда y 1 при всех значениях x.

Определение. Квантор существования - это оператор, приводящий в соответствие каждому одноместному предикату y Px такую двузначную логическую переменную z, которая принимает значение 0 тогда и только тогда, когда y 0 при всех значениях x.

Определение. Областью действия квантора называется выражение, на которое навешен квантор.

Задача 4.1.

  Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P ( X, Y ) " x y", определённый на множестве натуральных чисел N. Определить истинность полученных высказываний.

–  –  –

Задачи для самостоятельного решения Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на предикат P ( X, Y ), определённый на некотором множестве. Определить истинность полученных высказываний.

1) Предикат P( X, Y ) " X, Y делятся на 3" определён на множестве натуральных чисел N.

2) Предикат P ( X, Y ) " X, Y нечётные числа” определён на множестве натуральных чисел N.

3) Предикат P ( X, Y ) " X Y " определён на множестве натуральных чисел N.

4) Предикат P ( X, Y ) " X является делителем Y " определён на множестве натуральных чисел N.

5) Предикат P ( X, Y ) " X Y 0" определён на множестве действительных чисел Q.

6) Предикат P( X, Y ) " X 2 Y 2 0" определён на множестве рациональных чисел R.

7) Предикат P( X,Y ) " X моложе Y " определён на множестве всех людей.

8) Предикат P( X, Y ) " X сын Y " определён на множестве всех людей.

–  –  –



Похожие работы:

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) Е. Ф. Крейнин, Н. Д. Цхадая НЕФТЕГАЗОПРОМЫСЛОВАЯ ГЕОЛОГИЯ Учебное пособие Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки специалистов 130500 «Нефтегазовое дело» Ухта...»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Ангарская государственная техническая академия ТРЕБОВАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ, ОФОРМЛЕНИЮ И ЗАЩИТЕ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ Методические указания Издательство Ангарской государственной технической академии УДК 378.1 Требования по выполнению, оформлению и защите выпускной квалификационной работы: метод. указания / сост.: Ю.В. Коновалов, О.В. Арсентьев, Е.В. Болоев, Н.В. Буякова. – Ангарск: Изд-во АГТА, 2015. – 63 с. Методические указания...»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Ангарская государственная техническая академия _ И.Г. Голованов ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СТАНЦИИ И ПОДСТАНЦИИ Методические указания к лабораторным работам Для студентов всех форм обучения по направлению подготовки «Электроэнергетика и электротехника» Ангарск 2014 Голованов И.Г. Электрические станции и подстанции. Методические указания к лабораторным работам/ Голованов И.Г. – г. Ангарск: Изд-во АГТА, 2014. – 37с. Методические указания содержат материал о...»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Ангарская государственная техническая академия _ И.Г. Голованов ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СТАНЦИИ И ПОДСТАНЦИИ Методические указания для курсового проектирования Для студентов всех форм обучения по направлению подготовки «Электроэнергетика и электротехника» Ангарск 2014 Голованов И.Г. Электрические станции и подстанции. Методическое пособие для курсового проектирования / И.Г. Голованов. – г. Ангарск, 2014. – 72 с. Включает методику и практическое решение задач...»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Ангарская государственная техническая академия И.Г. Голованов ПРОМЫШЛЕННЫЕ ЭЛЕКТРОТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ УСТАНОВКИ Методические указания по практическим занятиям и самостоятельной работе студентов Для студентов всех форм обучения по направлению подготовки «Электроэнергетика и электротехника» Ангарск 2014 Голованов И.Г. Промышленные электротехнологические установки. Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе/ Голованов И.Г. – г....»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Ангарская государственная техническая академия _ И.Г. Голованов ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СТАНЦИИ И ПОДСТАНЦИИ Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов Для студентов всех форм обучения по направлению подготовки «Электроэнергетика и электротехника» Ангарск 2014 Голованов И.Г. Электрические станции и подстанции. Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе/ Голованов И.Г. – г. Ангарск: Изд-во АГТА,...»





Загрузка...




 
2016 www.metodichka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Методички, методические указания, пособия»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.