WWW.METODICHKA.X-PDF.RU
БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА - Методические указания, пособия
 
Загрузка...

«Дата полу- Дата согласо- Результат согласоваСогласующие ФИО Комментарии чения вания ния Зав. кафедрой Татосов Алексей Рекомендовано к 03.06.2015 03.06.2015 (Зав. кафедрой (д.н.)) ...»

ЛИСТ СОГЛАСОВАНИЯ

от 16.06.2015

Рег. номер: 2760-1 (15.06.2015)

Дисциплина: Дифференциальные уравнения

Учебный план: 28.03.01 Нанотехнологии и микросистемная техника/4 года ОДО

Вид УМК: Электронное издание

Инициатор: Салова Елена Владимировна

Автор: Салова Елена Владимировна

Кафедра: Кафедра математического моделирования

УМК: Физико-технический институт Дата заседания УМК: 01.06.2015 Протокол заседания №8



УМК:

Дата полу- Дата согласо- Результат согласоваСогласующие ФИО Комментарии чения вания ния Зав. кафедрой Татосов Алексей Рекомендовано к 03.06.2015 03.06.2015 (Зав. кафедрой (д.н.)) Викторович электронному изданию Председатель УМК Креков Сергей Согласовано 03.06.2015 12.06.2015 (Директор) Александрович 22:01 09:30 Менеджер ИБЦ Беседина Марина Согласовано 12.06.2015 14.06.2015 (специалист по учетно- Александровна 09:30 22:38 хранительской доку- Ульянова Елена ментации) Анатольевна (Беседина Марина Александровна) Подписант: Ивашко Александр Григорьевич Дата подписания: 15.06.2015

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Институт математики и компьютерных наук Кафедра математического моделирования САЛОВА Е.В.

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 28.03.01«Нанотехнологии и микросистемная техника»

очная форма обучения Тюменский государственный университет Салова Е.В. Дифференциальные уравнения. Учебно-методический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника», очная форма обучения.

Тюмень, 2015 г., 24 стр.

Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВО с учетом рекомендаций и ПрООП ВО по направлению и профилю подготовки.

Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Дифференциальные уравнения [электронный ресурс] / Режим доступа:

http://www.utmn.ru, раздел «Образовательная деятельность», свободный.

Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено директором Института математики и компьютерных наук Тюменского государственного университета.

ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: Татосов А.В., доктор физикоматематических наук, доцент, заведующий кафедрой математического моделирования © Тюменский государственный университет, 2015 © Е.В. Салова, 2015

1. Пояснительная записка

1.1.Цели и задачи дисциплины Целью курса является изучение основ дифференциальных уравнений, необходимых для решения теоретических и практических задач физики; привитие навыков самостоятельного изучения специальной литературы.

Основной задачей курса является обучение студентов методам решения основных типов дифференциальных уравнений и систем уравнений.

1.2.Место дисциплины в структуре образовательной программы Дисциплина «Дифференциальные уравнения» – это дисциплина, которая входит в базовую часть Блока 1.

Для ее успешного изучения необходимы знания, приобретенные в результате освоения предшествующих дисциплин: «Математический анализ», «Аналитическая геометрия», «Линейная алгебра».

Освоение дисциплины «Дифференциальные уравнения» необходимо для написания выпускной квалификационной работы.

Таблица 1.

Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми (последующими) дисциплинами № Наименование обеспечи- Темы дисциплины необходип/п ваемых (последующих) мые для изучения обеспечивадисциплин емых (последующих) дисциплин Выпускная квалификационная работа

1.3.Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения данной образовательной программы.

Выпускник должен обладать следующими компетенциями:

способностью представлять адекватную современному уровню знаний научную картину мира на основе знания основных положений, законов и методов естественных наук и математики (ОПК-1);

способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ОПК-2).





1.4. Перечень планируемых результатов обучения по дисциплине В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать элементарные приемы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка, некоторые приближенные методы их решения; методы решения дифференциальных уравнений высших порядков и систем уравнений; условия существования и единственности решения задачи Коши; начальные понятия теории устойчивости; приемы решения линейных уравнений в частных производных первого порядка.

уметь применять полученные знания при решении прикладных задач.

владеть методами решения дифференциальных уравнений

2. Структура и трудоемкость дисциплины Дисциплина «Дифференциальные уравнения» читается в третьем семестре. Форма промежуточной аттестации – экзамен. Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы 108 академических часа, из них 58,7 часа, выделенных на контактную работу с преподавателем; 49,3 часа, выделенных на самостоятельную работу.

–  –  –

5. Содержание дисциплины.

Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия и определения.

Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение методом Бернулли и методом вариации произвольной постоянной.

Уравнения Бернулли и Риккати. Уравнение в полных дифференциалах.

Признак уравнения в полных дифференциалах, построение общего интеграла. Интегрирующий множитель. Геометрические и физические задачи.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.

Особые решения дифференциальных уравнений. Огибающая семейства интегральных кривых.

Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка : метод изоклин, метод последовательных приближений, метод Эйлера, метод Рунге-Кутта.

Тема 2. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной Общие понятия.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Параметрический метод решения дифференциальных уравнений. Уравнения Лагранжа и Клеро.

Тема 3. Дифференциальные уравнения высших порядков Основные понятия.

Геометрическое и механическое истолкование уравнения второго порядка и его решения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для уравнения n-го порядка.

Уравнения, допускающие понижение порядка. Задача о второй космической скорости.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка, их свойства. Линейный дифференциальный оператор, его свойства.

Однородные линейные уравнения n-го порядка. Определитель Вронского. Признак линейной независимости решения линейного однородного уравнения. Формула Остроградского - Лиувилля. Фундаментальная система решений и построение общего решения однородного уравнения.

Неоднородные линейные дифференциальные уравнения. Теорема о структуре общего решения уравнения. Интегрирование неоднородных линейных дифференциальных уравнений методом вариации произвольных постоянных.

Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решение методом Эйлера. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов. Геометрические и физические задачи. Уравнение Эйлера.

Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами. Краевые задачи.

Тема 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Нормальная система дифференциальных уравнений.

Автономные системы. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Механическое истолкование нормальной системы и ее решения.

Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения. Нахождение интегрируемых комбинаций.

Системы линейных дифференциальных уравнений, свойства решений. Физические задачи. Построение общего решения однородной линейной системы по фундаментальной системе решений. Неоднородные линейные системы дифференциальных уравнений, метод вариации произвольных постоянных. Однородные линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера.

Тема 5. Теория устойчивости Непрерывная зависимость решения задачи Коши от начальных данных.

Устойчивость по Ляпунову, основные понятия и определения.

Исследование на устойчивость по линейному приближению. Метод функций Ляпунова.

Исследование траекторий в окрестности точки покоя. Типы точек покоя (особых точек) для системы двух уравнений.

Тема 6. Уравнения в частных производных первого порядка Уравнения в частных производных первого порядка, основные понятия и определения.

Теорема существования и единственности решения уравнений. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

6. Планы практических занятий Тема 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

1) Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

2) Однородные дифференциальные уравнения и приводящиеся к ним.

3) Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.

4) Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель.

5) Существование и единственность решения задачи Коши.

Тема 2. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной Тема 3.

Дифференциальные уравнения высших порядков

1) Уравнения, допускающие понижение порядка.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами.

Тема 4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений Интегрирование системы дифференциальных уравнений методом исключения.

Нахождение интегрируемых комбинаций.

2) Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Тема 5. Теория устойчивости Тема 6.

Уравнения в частных производных первого порядка

7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум).

Лабораторные работы не предусмотрены учебным планом.

8. Примерная тематика курсовых работ Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.

–  –  –

10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):

Выпускник должен обладать следующими компетенциями :

способностью представлять адекватную современному уровню знаний научную картину мира на основе знания основных положений, законов и методов естественных наук и математики (ОПК-1);

способностью выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ОПК-2).

ОПК-2 ОПК-1 ОПК-2 ОПК-1

–  –  –

ОП ОП

–  –  –

++ ++

–  –  –

10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.

–  –  –

+ 5 = 9. { 2 5 + 2 = 2 = 2 + = 2 + 2 10.

= + { = = 11.

= = 12.

2 (+2) = 3 + = + 2 13.

{ = 6 + 2 = 3

–  –  –

= 4 { 15.

= 5 + 5 2 Примерные вопросы для подготовки к экзамену

1. Понятие дифференциального уравнения, его решения. Дифференциальные уравнения как математические модели физических процессов.

2. Дифференциальные уравнения первого порядка, их геометрическая интерпретация. Построение дифференциального уравнения заданного семейства кривых.

3. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним.

4. Однородные дифференциальные уравнения.

5. Дифференциальные уравнения, приводящиеся к однородным.

6. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение методом Бернулли.

7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка, их решение методом вариации произвольной постоянной.

8. Уравнения Бернулли и Риккати.

9. Уравнение в полных дифференциалах. Признак уравнения в полных дифференциалах. Построение общего интеграла.

10. Интегрирующий множитель уравнения. Примеры.

11. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка.

12. Нахождение особых решений уравнения. Огибающая семейства интегральных кривых.

13. Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений первого порядка. Метод последовательных приближений. Метод Эйлера.

14. Дифференциальные уравнения, не разрешенные относительно производной. Параметрический метод решения уравнения.

15. Уравнения Лагранжа и Клеро.

16. Дифференциальные уравнения n-го порядка, его общее, частное и особое решения. Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши.

17. Дифференциальные уравнения второго порядка, его геометрическое и механическое истолкование.

18. Уравнения, допускающие понижение порядка. Примеры.

19. Однородные линейные уравнения n-го порядка, построение общего решения по фундаментальной системе решений.

20. Неоднородные линейные уравнения n-го порядка, их решение методом вариации произвольных постоянных.

21. Однородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, их решение методом Эйлера.

22. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Решение уравнения вида y n a1 y n1...an y e ax Pn x cos bx Qm x sin bx методом неопределенных коэффициентов.

23.Нормальная система дифференциальных уравнений, ее механическое истолкование. Интегрирование систем дифференциальных уравнений методом исключения.

24. Фундаментальная система решений и построение общего решения однородной линейной системы дифференциальных уравнений.

25. Однородные линейные системы с постоянными коэффициентами, их решение методом Эйлера.

26. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения начальной задачи системы дифференциальных уравнений. Исследование на устойчивость по первому приближению.

27. Устойчивость и асимптотическая устойчивость по Ляпунову решения начальной задачи системы дифференциальных уравнений. Исследование на устойчивость методом функций Ляпунова.

28. Исследование траекторий в окрестности точки покоя. Типы точек покоя (особых точек) для системы двух уравнений.

29. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка.

10.4 Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности характеризующих этапы формирования компетенций.

Экзамен проводится в форме собеседования по вопросам билета.

В билете предлагается два теоретических вопроса и один практический (задача).

11. Образовательные технологии

При изучении дисциплины «Дифференциальные уравнения» используются следующие образовательные технологии:

– аудиторные занятия (лекционные и практические занятия);

– внеаудиторные занятия (самостоятельная работа, индивидуальные консультации).

В соответствии с требованиями ФГОС при реализации различных видов учебной работы в процессе изучения дисциплины «Дифференциальные уравнения» предусматривается использование в учебном процессе следующих активных и интерактивных форм проведения занятий:

– практические занятия в диалоговом режиме;

– работа в малых группах по темам, изучаемым на практических занятиях.

12.Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

12.1 Основная литература:

Кайгородов, Е. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Электронный ресурс] : учебное пособие / Е. В. Кайгородов; Горно-Алтайский гос. ун-т. - Горно-Алтайск : Горно-Алтайский гос. ун-т, 252 с.- Режим доступа:

2014.дата обращения:

https://icdlib.nspu.ru/catalog/details/icdlib/854991/ 25.03.2015) Петровский, И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений: учеб. для мех.-мат. фак. ун-тов/ И. Г. Петровский; Моск. гос. ун-т им. М. В. Ломоносова. - 7-е изд.. - Москва: Либроком, 2009. - 240 с.

Тихонов, А. Н.. Дифференциальные уравнения: учеб. для 3.

студ. физ. спец. и спец. "Прикладная математика"/ А. Н. Тихонов, А. Б.

Васильева. - 4-е изд. - Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 256 с.

Филиппов, А. Ф. Сборник задач по дифференциальным 4.

уравнениям/ А. Ф. Филиппов. - Ижевск: РХД, 2005. - 175 с.

12.2 Дополнительная литература:

Арнольд, В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения/ В. И. Арнольд. - Ижевск: РХД, 2000. - 368 с.

Романко, В. К.. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления: учеб. пособие для студ. физ.-мат. спец. вузов/ В.

К. Романко. - 2-е изд.. - Москва; Санкт-Петербург: Физматлит: Невский диалект: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 344 с.

Системы дифференциальных уравнений: Метод. указания 3.

для студ. физ. ф-та/ Е. В. Салова. - Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2002. - 44 с.

12.3 Интернет – ресурсы Электронная библиотека Попечительского совета механикоматематического факультета Московского государственного университета http://lib.mexmat.ru eLIBRARY – Научная электронная библиотека (Москва) 2.

http://elibrary.ru

13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).

1. Microsoft Word.

2. Microsoft Excel.

3. Microsoft PowerPoint.

Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля) Аудитория с доской и мелом и с мультимедийным оборудованием для лекционных и практических занятий.

15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля).

1. Системы дифференциальных уравнений: Метод. указ. для студ.

физич. фак-та. / Салова Е.В. Тюмень: Изд-во ТюмГУ, 2002. 44 с.



Похожие работы:

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ЛИПЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Кафедра транспортных средств и техносферной безопасности Технология конструкционных материалов МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к выполнению индивидуального задания для студентов направления 190109 «Наземные транспортно-технологические средства» Составители: А.А. ЗЮЗИН, Б.Н. КАЗЬМИН Липецк Липецкий...»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Ангарская государственная техническая академия ТРЕБОВАНИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ, ОФОРМЛЕНИЮ И ЗАЩИТЕ ВЫПУСКНОЙ КВАЛИФИКАЦИОННОЙ РАБОТЫ Методические указания Издательство Ангарской государственной технической академии УДК 378.1 Требования по выполнению, оформлению и защите выпускной квалификационной работы: метод. указания / сост.: Ю.В. Коновалов, О.В. Арсентьев, Е.В. Болоев, Н.В. Буякова. – Ангарск: Изд-во АГТА, 2015. – 63 с. Методические указания...»

«Образовательная программа основного общего образования Второй Санкт-Петербургской Гимназии рабочий вариант 2015 год СОДЕРЖАНИЕ 1. ЦЕЛЕВОЙ РАЗДЕЛ ПРИМЕРНОЙ ОСНОВНОЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБЩЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 1.1. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА 1.1.1.ВВЕДЕНИЕ 1.1.2.ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБУЧЕНИЯ 1.1.3.НОРМАТИВНО-ПРАВОВОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБУЧЕНИЯ 1.1.4.ЦЕЛИ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ПРОГРАММЫ ОСНОВНОГО ОБУЧЕНИЯ 1.1.5.ПРИНЦИПЫ ФОРМИРОВАНИЯ...»

«Министерство образования и науки Российской Федерации Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Самарский государственный технический университет» в г. Сызрани Гусева Н.В. Гаршина О.П.УПРАВЛЕНИЕ ЗАТРАТАМИ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ Учебное пособие Сызрань 2013 Печатается по решению НМС инженерно-экономического факультета филиала ФГБОУ ВПО Самарского государственного технического университета в г. Сызрани. Рассмотрено и утверждено...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Физико-технический институт Кафедра микрои нанотехнологий Сергей Юрьевич Удовиченко ДИАГНОСТИКА И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НАНОМАТЕРИАЛОВ И НАНОСТРУКТУР Учебно-методический комплекс Рабочая программа для аспирантов специальности 03.06.01 Физика и астрономия (Физика и технология наноструктур, атомная и...»

«СТО 027-2015 Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования ИРКУТСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ С Т А Н Д А Р Т О Р Г А Н И З А Ц И И СИСТЕМА МЕНЕДЖМЕНТА КАЧЕСТВА Учебно-методическая деятельность. Общие требования к организации и проведению лабораторных работ Учебно-методическая деятельность. СТО 027-2015 ИРНИТУ Общие требования к организации и проведению лабораторных работ...»

«Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования Ухтинский государственный технический университет (УГТУ) Е. Ф. Крейнин, Н. Д. Цхадая НЕФТЕГАЗОПРОМЫСЛОВАЯ ГЕОЛОГИЯ Учебное пособие Допущено Учебно-методическим объединением вузов Российской Федерации по нефтегазовому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки специалистов 130500 «Нефтегазовое дело» Ухта...»

«Министерство образования и науки РФ ФГБОУ ВПО Ангарская государственная техническая академия _ И.Г. Голованов ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СТАНЦИИ И ПОДСТАНЦИИ Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе студентов Для студентов всех форм обучения по направлению подготовки «Электроэнергетика и электротехника» Ангарск 2014 Голованов И.Г. Электрические станции и подстанции. Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе/ Голованов И.Г. – г. Ангарск: Изд-во АГТА,...»

«Настоящие методические указания подготовлены на основе следующих нормативно-технических документов: ГОСТ 7.32-2001. Отчет о научно-исследовательской работе. Структура и правила оформления1; ГОСТ 7.1-2003. Библиографическая запись. Библиографическое описание. Общие требования и правила составления 2; ГОСТ Р705-2008. Библиографическая ссылка. Общие требования и правила составления 3.разработаны на основе методических указаний по оформлению контрольных работ, курсовых работ, выпускных...»

«МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Магнитогорский государственный технический университет им. Г. И. Носова» Кафедра начального образования О. А. КОЛМОГОРОВА ЗЕМЛЕВЕДЕНИЕ Учебное пособие Магнитогорск УДК 91 ББК Д820я73 Колмогорова О. А. Землеведение: учебное пособие. – Магнитогорск: ФГБОУ ВПО «МГТУ им. Г. И. Носова», 2015. – 176 с. Рецензенты: кандидат педагогических наук,...»





Загрузка...




 
2016 www.metodichka.x-pdf.ru - «Бесплатная электронная библиотека - Методички, методические указания, пособия»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.